ЕГЭ–2026, математика базовая: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д15 № 56031 Добавить в вариант

Периметр прямоугольника равен 82, а площадь равна 40,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна их произведению. Пусть длины сторон равны a и b. Следовательно, периметр и площадь прямоугольника соответственно равны $P = 2 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка = 34$ и $S = ab = 60.$ Решим систему:

$система выражений a плюс b = 17, ab = 60 конец системы . равносильно система выражений a = 17 минус b, 17b минус b в квадрате = 60 конец системы . равносильно система выражений a = 17 минус b, b в квадрате минус 17b плюс 60 = 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений a = 17 минус b, левая круглая скобка b минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 12 правая круглая скобка = 0 конец системы . равносильно система выражений a = 17 минус b, совокупность выражений b = 5, b = 12 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений a = 12, b = 5, конец системы . система выражений a = 5, b = 12. конец системы . конец совокупности .$ $система выражений a плюс b = 17, ab = 60 конец системы . равносильно система выражений a = 17 минус b, 17b минус b в квадрате = 60 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений a = 17 минус b, b в квадрате минус 17b плюс 60 = 0 конец системы . равносильно система выражений a = 17 минус b, левая круглая скобка b минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 12 правая круглая скобка = 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений a = 17 минус b, совокупность выражений b = 5, b = 12 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений a = 12, b = 5, конец системы . система выражений a = 5, b = 12. конец системы . конец совокупности .$

Таким образом, стороны прямоугольника треугольника равны 5 и 12.

Диагональ разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в которых она является гипотенузой. Пусть длина диагонали равна c, тогда по теореме Пифагора находим:

$c = корень из: начало аргумента: 5 в квадрате плюс 12 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 25 плюс 144 конец аргумента = 13.$

Ответ: 13.

Примечание 1.

Можно заметить, что система уравнений $a плюс b = 17,$ $ab = 60$ является системой Виета. Следовательно, ее решения  — корни квадратного уравнения $t в квадрате минус 17t плюс 60 = 0,$ откуда $t = 5$ и $t = 12.$

Примечание 2.

Можно было и вовсе не решать систему уравнений: действительно,

$с в квадрате = a в квадрате плюс b в квадрате = левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате минус 2ab = 17 в квадрате минус 2 умножить на 60 = 169 = 289 минус 120 = 169,$

откуда $c = 13.$

Прототип задания