##

Ответ: 18.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна 3 ра­ди­у­сам впи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му она равна 18.

Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тра­пе­ции, опи­са­на и во­круг тре­уголь­ни­ка Это тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, угол при вер­ши­не равен 120°, углы при ос­но­ва­нии равны 30°. Най­дем его бо­ко­вую сто­ро­ну:

от­ку­да Тогда по тео­ре­ме си­ну­сов:

Ответ: 6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние (Р. А., СПб.).

Хорды AD, DC и CB равны, по­это­му равны и стя­ги­ва­е­мые ими дуги. Впи­сан­ный угол А равен 60°, он опи­ра­ет­ся на две из этих дуг и равен по­ло­ви­не их суммы. По­это­му каж­дая из дуг равна 60°, их сумма равна 180°, а хорда АВ яв­ля­ет­ся диа­мет­ром. От­сю­да по­лу­ча­ем, что ис­ко­мый ра­ди­ус равен 6.

Пусть точки H и K яв­ля­ют­ся точ­ка­ми ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми AB и СВ со­от­вет­ствен­но. Тре­уголь­ни­ки HOB и KOB равны, так как яв­ля­ют­ся пря­мо­уголь­ны­ми с общей ги­по­те­ну­зой и рав­ны­ми ка­те­та­ми, зна­чит,

Ответ: 22.

В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Сле­до­ва­тель­но, сумма ос­но­ва­ний тра­пе­ции равна сумме бо­ко­вых сто­рон, то есть равна 8. Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний, по­это­му она равна 4.

Ответ: 4.

В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда

Ответ: 10.