Ре­ше­ние. По опре­де­ле­нию пер­во­об­раз­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 5) спра­вед­ли­во ра­вен­ство

Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния f(x)=0 яв­ля­ют­ся точки экс­тре­му­мов изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции F(x) Это точки −2,6; −2,2; −1,2; −0,5; 0; 0,4; 0,8; 1,2; 2,2; 2,8; 3,4; 3,8. Из них на от­рез­ке [−2;4] лежат 10 точек. Таким об­ра­зом, на от­рез­ке [−2;4] урав­не­ние имеет 10 ре­ше­ний.

Ответ: 10.

Ре­ше­ние.

Раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2 равна пло­ща­ди вы­де­лен­ной на ри­сун­ке тра­пе­ции По­это­му

Ответ: 7.

При­ме­ча­ние Д. Д. Гу­щи­на.

В связи с воз­ни­ка­ю­щи­ми у учи­те­лей во­про­са­ми при­ве­дем ана­ли­ти­че­ское ре­ше­ние; из­лиш­не гро­мозд­кое для дан­ной за­да­чи, но рас­кры­ва­ю­щее смысл кон­стант в за­пи­си не­опре­де­лен­но­го ин­те­гра­ла. Разо­брать­ся в нем будет по­лез­но и уче­ни­кам, же­ла­ю­щим глуб­же по­нять тему.

Поль­зу­ясь дан­ным в усло­вии гра­фи­ком, за­пи­шем функ­цию в виде

За­пи­шем вы­ра­же­ние для пер­во­об­раз­ной:

За­ме­тим, что пер­во­об­раз­ная яв­ля­ет­ся диф­фе­рен­ци­ру­е­мой, а по­то­му и не­пре­рыв­ной функ­ци­ей в каж­дой точке своей об­ла­сти опре­де­ле­ния. Сле­до­ва­тель­но, не­пре­рыв­ной в точке 3. По­это­му вы­ра­же­ния для пер­во­об­раз­ных в точке 3 долж­ны быть рав­ны­ми. Под­ста­вим в урав­не­ние

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

Пока най­де­на не­пре­рыв­ная функ­ция F, ко­то­рая яв­ля­ет­ся пер­во­об­раз­ной функ­ции f на луче и на по­лу­ин­тер­ва­ле Оста­лось изу­чить диф­фе­рен­ци­ру­е­мость F в точке 3. Най­дем ле­во­сто­рон­нюю и пра­во­сто­рон­нюю про­из­вод­ные:

Ле­во­сто­рон­няя про­из­вод­ная F в точке 3 равна пра­во­сто­рон­ней, а по­то­му Те­перь можно утвер­ждать, что функ­ция F яв­ля­ет­ся пер­во­об­раз­ной для f на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния. Для от­ве­та на во­прос за­да­чи оста­лось найти раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2:

Ответ: 7.

За­ме­ча­ние. От­ме­тим до­пол­ни­тель­но, что ле­во­сто­рон­няя и пра­во­сто­рон­няя про­из­вод­ные про­из­вод­ные опре­де­ля­ют­ся как

Если по­ло­жить в пер­вой из этих фор­мул а во вто­рой  — то со­от­вет­ствен­но: и от­ку­да сле­ду­ют более удоб­ные для вы­чис­ле­ний фор­му­лы:

ко­то­рые были ис­поль­зо­ва­ны выше в ре­ше­нии.

Пыт­ли­вый чи­та­тель мог бы за­ин­те­ре­со­вать­ся тем, как «скле­е­ны» между собой ветви гра­фи­ка най­ден­ной пер­во­об­раз­ной в точке с абс­цис­сой 3. Го­во­ря более фор­маль­но, не­об­хо­ди­мо узнать, каков угол между ка­са­тель­ны­ми лу­ча­ми к вет­вям гра­фи­ка функ­ции f, про­ве­ден­ны­ми в их общей точке. Чтобы от­ве­тить на этот во­прос, рас­смот­рим функ­ции и Из при­ве­ден­ных выше рас­суж­де­ний сле­ду­ет, что и Но си­сте­ма урав­не­ний

есть усло­вие ка­са­ния гра­фи­ков функ­ций f и g в точке x₀. Итак, для лю­бо­го зна­че­ния кон­стан­ты С₁ пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к па­ра­бо­ле

Более про­стой спо­соб по­ка­зать ка­са­ние не свя­зан с про­из­вод­ной. По­ка­жем, что пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к па­ра­бо­ле в точке 3. Дей­стви­тель­но, урав­не­ние то есть урав­не­ние имеет ровно один ко­рень, рав­ный 3, а зна­чит, для лю­бо­го зна­че­ния С эти пря­мая и па­ра­бо­ла имеют един­ствен­ную общую точку  — точку ка­са­ния.

От­ме­тим до­пол­ни­тель­но, что за­да­ния ука­зан­но­го типа долж­ны быть зна­ко­мы учи­те­лям, на­при­мер, по из­вест­ной книге Га­лиц­ко­го М. Л., Мош­ко­ви­ча М. М., Шварц­бур­да С. И. Углуб­лен­ное изу­че­ние ал­геб­ры и ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за (Москва, 1982): см. за­да­ние 4 из ин­те­рес­ной, кста­ти, и самой по себе кон­троль­ной ра­бо­ты для 10 (11) клас­са с углуб­лен­ным изу­че­ни­ем ма­те­ма­ти­ки.

Более про­стая за­да­ча при­во­дит­ся с ре­ше­ни­ем в по­со­бии Са­а­кя­на С. М. и др. За­да­чи по ал­геб­ре и на­ча­лам ана­ли­за для 10–11 клас­сов: не­об­хо­ди­мо найти общий вид пер­во­об­раз­ных функ­ции К со­жа­ле­нию, при­ве­ден­ное ав­то­ра­ми ре­ше­ние (см. ниже) нель­зя при­знать пол­но­стью удо­вле­тво­ри­тель­ным, по­сколь­ку в нем не про­ве­ря­ет­ся диф­фе­рен­ци­ру­е­мость най­ден­ной пер­во­об­раз­ной в точке 1. Предо­сте­ре­га­ем чи­та­те­ля от этой ошиб­ки.

Из более новых работ ре­ко­мен­ду­ем об­ра­тить­ся к учеб­ни­ку М. Я. Пра­ту­се­ви­ча и др. Ал­геб­ра и на­ча­ла ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за, 11 класс, стр. 96. В этом учеб­ни­ке во­прос о пер­во­об­раз­ной функ­ции разо­бран пол­но­стью без упу­ще­ний.

Ре­ше­ние. Пло­щадь вы­де­лен­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти зна­че­ний пер­во­об­раз­ных, вы­чис­лен­ных в точ­ках и

Имеем:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По­лу­чим явное вы­ра­же­ние для По­сколь­ку

имеем:

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель от­ме­тит, что вто­рой под­ход эк­ви­ва­лен­тен вы­де­ле­нию пол­но­го куба:

что поз­во­ля­ет сразу же найти

Еще один спо­соб рас­суж­де­ний по­ка­жем на при­ме­ре сле­ду­ю­щей за­да­чи.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Най­дем фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию гра­фик ко­то­рой изоб­ражён на ри­сун­ке.

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции по­лу­чен сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на еди­ниц влево вдоль оси абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь фи­гу­ры равна пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции и от­рез­ком оси абс­цисс. Имеем:

Ответ: 4.

Еще не­сколь­ко спо­со­бов рас­суж­де­ний по­ка­жем на при­ме­ре сле­ду­ю­щей за­да­чи.

Ре­ше­ние.

Опре­де­лен­ный ин­те­грал от функ­ции по от­рез­ку дает зна­че­ние пло­ща­ди под­гра­фи­ка функ­ции на от­рез­ке. Об­ласть под гра­фи­ком раз­би­ва­ет­ся на пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, пло­щадь ко­то­ро­го и пря­мо­уголь­ник, пло­щадь ко­то­ро­го Сумма этих пло­ща­дей дает ис­ко­мый ин­те­грал

Ответ: 12.