Ре­ше­ние. Пусть число A имеет вид Если то сумма цифр в новом числе будет на 6 боль­ше, чем в ис­ход­ном. Пусть A де­лит­ся на 12, тогда то есть число не де­лит­ся на 12. Ана­ло­гич­но, если число де­лит­ся на 12, то число A не де­лит­ся на 12. Зна­чит, Рас­смот­рим три слу­чая.

1.   Число имеет вид: сумма цифр числа на 3 мень­ше суммы цифр числа

2.   Число имеет вид: сумма цифр числа на 12 мень­ше суммы цифр числа

3.   Число имеет вид: сумма цифр числа на 21 мень­ше суммы цифр числа

Ясно, что усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа, рас­смот­рен­ные в пунк­те 2. Под­берём число A так, чтобы сумма его цифр де­ли­лась на 12. Наи­мень­шее воз­мож­ное A, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­ви­ям за­да­чи,  — 699. Дей­стви­тель­но, сумма его цифр 6 + 9 + 9  =  24 де­лит­ся на 12; число (А + 6) равно 699 + 6  =  705, его сумма цифр 7 + 5  =  12 также де­лит­ся на 12.

Ответ: 699.

При­ме­ча­ние.

Об­ра­тим вни­ма­ние чи­та­те­лей на то, что на 12 долж­на де­лить­ся сумма цифр числа A, а также сумма цифр числа (А + 6). Сами числа A и (А + 6) при этом могут быть не крат­ны 12.

Ре­ше­ние. Пусть число A имеет вид Если то сумма цифр в новом числе будет на 6 боль­ше, чем в ис­ход­ном. Пусть A де­лит­ся на 12, тогда то есть число не де­лит­ся на 12. Ана­ло­гич­но, если число де­лит­ся на 12, то число A не де­лит­ся на 12. Зна­чит, Рас­смот­рим 2 слу­чая:

1)   Число имеет вид: сумма цифр числа на 3 мень­ше суммы цифр числа

2)   Число имеет вид: сумма цифр числа на 12 мень­ше суммы цифр числа

3)   Число имеет вид: сумма цифр числа на 21 мень­ше суммы цифр числа

Ясно, что усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа, рас­смот­рен­ные в пунк­те 2). Под­берём число A так, чтобы сумма его цифр де­ли­лась на 12. Наи­мень­шее воз­мож­ное A, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­ви­ям за­да­чи,  — 798.

Ответ: 798.

Ре­ше­ние. Пусть число A имеет вид Если то сумма цифр в новом числе будет на 5 боль­ше, чем в ис­ход­ном. Пусть A де­лит­ся на 13, тогда то есть число не де­лит­ся на 13. Ана­ло­гич­но, если число де­лит­ся на 13, то число A не де­лит­ся на 13. Зна­чит, Рас­смот­рим 3 слу­чая:

1)  Число имеет вид сумма цифр числа на 3 мень­ше суммы цифр числа A.

2)  Число имеет вид сумма цифр числа на 12 мень­ше суммы цифр числа A.

3)  Число имеет вид сумма цифр числа на 21 мень­ше суммы цифр числа A.

Ясно, что усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа, рас­смот­рен­ные в пунк­те 2). Если сумма цифр та­ко­го числа равна 13, то Зна­чит, сумма его цифр равна 26. Это воз­мож­но толь­ко для двух чисел  — 899 или 989. Усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет толь­ко число 899.

Ответ: 899.