Ре­ше­ние. Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов и на z во­про­сов не от­ве­тил. Тогда

За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 9, за не­пра­виль­ный (−17), за не­осве­щен­ный во­прос  — 0 очков.

От­сю­да имеем:

Так как число де­лит­ся на 9, то и 17y де­лит­ся на 9. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Тогда из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 34 во­про­сов.

Ответ: 34.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пе­ри­метр верх­не­го ле­во­го пря­мо­уголь­ни­ка равна 24, по­это­му ана­ло­гич­но, При по­мо­щи по­лу­чен­ной си­сте­мы урав­не­ний вы­ра­зим зна­че­ние

Из тре­тье­го урав­не­ния по­лу­ча­ем: сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый пе­ри­метр равен 12.

Ответ: 12.

При­ве­дем ещё одно ре­ше­ние.

Не­труд­но про­ве­рить, что суммы пе­ри­мет­ров рас­по­ло­жен­ных на одной и дру­гой диа­го­на­лях пря­мо­уголь­ни­ка равны. Тогда: а по­то­му не­из­вест­ный пе­ри­метр равен 12.

При­ве­дем ещё одно ре­ше­ние.

Не­слож­но по­нять, что раз­ность пе­ри­мет­ров двух верх­них пря­мо­уголь­ни­ков равна раз­но­сти пе­ри­мет­ров двух ниж­них. По­это­му от­ку­да вы­те­ка­ет, что не­из­вест­ный пе­ри­метр равен 12.

Каж­дый рас­пил уве­ли­чи­ва­ет ко­ли­че­ство кус­ков на один. То есть всего 8 крас­ных линий, 6 жёлтых и 5 зелёных. То есть вме­сте 19 линий. А кус­ков по­лу­чит­ся 20.

Ответ: 20.