Ре­ше­ние. Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов, и на z во­про­сов не от­ве­тил. Сле­до­ва­тель­но, За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 5 очков, за не­пра­виль­ный  — –⁠12, за не­от­ве­чен­ный во­прос  — 0. От­сю­да сле­ду­ет, что то есть и Число де­лит­ся на 5, по­это­му и 12y де­лит­ся на 5. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 19 во­про­сов.

Ответ: 19.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

За пол­но­стью верно вы­пол­нен­ную вик­то­ри­ну можно по­лу­чить очков. Сле­до­ва­тель­но, уче­ник по­те­рял сум­мар­но 90 очков. За каж­дый не­от­ве­чен­ный во­прос уче­ник «не­до­би­рал» по 5 очков, а за каж­дый не­вер­ный ответ «не­до­би­рал» по 17 очков. Общая сумма очков, ко­то­рые не смог за­ра­бо­тать уче­ник, крат­на 5, сумма очков, ко­то­рую уче­ник не­до­брал за не­от­ве­чен­ные во­про­сы, крат­на 5, а по­то­му и сумма очков, спи­сан­ных за не­вер­ные от­ве­ты крат­на 5. Уче­ник ошиб­ся хотя бы раз. Если бы он ошиб­ся 10 раз, то с него бы спи­са­ли 170 очков, что не­воз­мож­но. Сле­до­ва­тель­но, уче­ник ошиб­ся 5 раз, за что по­те­рял 85 бал­лов. Осталь­ные 5 по­те­рян­ных бал­лов при­шлись на 1 не­от­ве­чен­ный во­прос. Таким об­ра­зом, уче­ник дал 19 вер­ных от­ве­тов, 5 не­вер­ных и не от­ве­тил на 1 во­прос вик­то­ри­ны.

Введём обо­зна­че­ния так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пе­ри­метр верх­не­го ле­во­го пря­мо­уголь­ни­ка равен 24, по­это­му ана­ло­гич­но, При по­мо­щи по­лу­чен­ной си­сте­мы урав­не­ний вы­ра­зим зна­че­ние

Из тре­тье­го урав­не­ния по­лу­ча­ем сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый пе­ри­метр равен 12.

Ответ: 12.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Не­труд­но про­ве­рить, что суммы пе­ри­мет­ров, рас­по­ло­жен­ных на одной и дру­гой диа­го­на­лях пря­мо­уголь­ни­ка, равны. Сле­до­ва­тель­но, а по­то­му не­из­вест­ный пе­ри­метр равен 12.

При­ве­дем ещё одно ре­ше­ние.

Не­слож­но по­нять, что раз­ность пе­ри­мет­ров двух верх­них пря­мо­уголь­ни­ков равна раз­но­сти пе­ри­мет­ров двух ниж­них. Сле­до­ва­тель­но, а по­то­му не­из­вест­ный пе­ри­метр равен 12.

Пусть бен­зо­ко­лон­ка В рас­по­ло­жен через 85 км по ча­со­вой стрел­ке от А. Бен­зо­ко­лон­ка Г не может рас­по­ла­гать­ся между бен­зо­ко­лон­ка­ми А и В, по­то­му что в таком слу­чае рас­сто­я­ние между бен­зо­ко­лон­ка­ми В и Г было бы равно Сле­до­ва­тель­но, бен­зо­ко­лон­ка Г рас­по­ла­га­ет­ся через 55 км про­тив ча­со­вой стрел­ки от бен­зо­ко­лон­ки А, и рас­сто­я­ние между бен­зо­ко­лон­ка­ми В и Г из­ме­ря­ет­ся по ча­со­вой стрел­ке от бен­зо­ко­лон­ки В по дуге, со­дер­жа­щей бен­зо­ко­лон­ку А. Таким об­ра­зом, длина всей коль­це­вой до­ро­ги равна Рас­сто­я­ние между бен­зо­ко­лон­ка­ми А и Б равно по­ло­ви­не длины до­ро­ги, то есть эти бен­зо­ко­лон­ки рас­по­ло­же­ны диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­но. Бен­зо­ко­лон­ка В рас­по­ло­же­на между бен­зо­ко­лон­ка­ми А и Б на рас­сто­я­нии 85 км от бен­зо­ко­лон­ки А, по­этом рас­сто­я­ние между бен­зо­ко­лон­ка­ми Б и В равно 

Ответ: 25.

Сумма всех чисел в таб­ли­це равна Сумма чисел в каж­дой стро­ке может быть равна 21 или 22. В таб­ли­це не может быть более строк и не может быть менее строк. Сле­до­ва­тель­но, в таб­ли­це ровно 16 строк.

Ответ: 16.