Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 55, то оно де­лит­ся на 5 и на 11. Если число де­лит­ся на 5, то оно может окан­чи­вать­ся на 0 или на 5. Если в за­пи­си числа есть ноль, то про­из­ве­де­ние цифр числа равно нулю. Сле­до­ва­тель­но, за­пись числа долж­на окан­чи­вать­ся на 5. Пусть число имеет вид Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, сто­я­щих в за­пи­си числа на нечётных ме­стах, от­ли­ча­ет­ся от суммы цифр, сто­я­щих на чет­ных ме­стах, на число, крат­ное 11: где

Рас­смот­рим раз­лич­ные про­из­ве­де­ния abcde  — такие, что По­след­няя цифра числа равна 5, сле­до­ва­тель­но, воз­мож­ные зна­че­ния про­из­ве­де­ния abcde: 50, 55, 60, 65, 70. Раз­ло­жим каж­дое число на про­стые мно­жи­те­ли:

По­пы­та­ем­ся удо­вле­тво­рить урав­не­нию Пе­ре­би­рая раз­лич­ные воз­мож­ные зна­че­ния, по­лу­чим, что воз­мож­ны три слу­чая:

—  раз­ло­же­ние числа 70 в виде удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию

—  раз­ло­же­ние числа 60 в виде удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию:

—  раз­ло­же­ние числа 60 в виде удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию

Таким об­ра­зом, под­хо­дят числа 11 275, 13 145, 14 135, 17 215, 21 175, 27 115, 21 615, 61 215. Наи­мень­шим из них яв­ля­ет­ся число 11 275.

Ответ: 11 275.