РЕШУ ЕГЭ — математика базовая

Задания

Тип Д2 № 323289 Добавить в вариант

Производная и первообразная. Первообразная

На рисунке изображён график некоторой функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = x в кубе плюс 27 x в квадрате плюс 249 x минус 3$   — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

На рисунке изображён график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе плюс 30x в квадрате плюс 302x минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках $минус 9$ и $минус 11.$

Имеем:

$F левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка в кубе плюс 30 умножить на левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка в квадрате плюс 302 умножить на левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби = минус 729 плюс 2430 минус 2718 минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби = минус целая часть: 1018, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 .$ $F левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка в кубе плюс 30 умножить на левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка в квадрате плюс 302 умножить на левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби =$
$= минус 729 плюс 2430 минус 2718 минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби = минус целая часть: 1018, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 .$

$F левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка в кубе плюс 30 умножить на левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка в квадрате плюс 302 умножить на левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби = минус 1331 плюс 3630 минус 3322 минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби = минус целая часть: 1024, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 .$ $F левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка в кубе плюс 30 умножить на левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка в квадрате плюс 302 умножить на левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби =$
$= минус 1331 плюс 3630 минус 3322 минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби = минус целая часть: 1024, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 .$

$F левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка = минус целая часть: 1018, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 плюс целая часть: 1024, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 =6.$

Приведем другое решение.

Получим явное выражение для $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Поскольку

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =F' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате плюс 60x плюс 302=3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 20x плюс 100 правая круглая скобка плюс 2=3 левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка в квадрате плюс 2,$ $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =F' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате плюс 60x плюс 302=$
$=3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 20x плюс 100 правая круглая скобка плюс 2=3 левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка в квадрате плюс 2,$

имеем:

$принадлежит t пределы: от минус 11 до минус 9, левая круглая скобка 3 левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка в квадрате плюс 2 правая круглая скобка dx= левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка в кубе плюс 2x правая круглая скобка |_ минус 11 в степени левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка =1 минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка минус 9 минус левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка правая круглая скобка =2 плюс 4=6.$ $принадлежит t пределы: от минус 11 до минус 9, левая круглая скобка 3 левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка в квадрате плюс 2 правая круглая скобка dx= левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка в кубе плюс 2x правая круглая скобка |_ минус 11 в степени левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка =$
$=1 минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка минус 9 минус левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка правая круглая скобка =2 плюс 4=6.$

Примечание.

Внимательный читатель отметит, что второй подход эквивалентен выделению полного куба:

$F левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе плюс 30x в квадрате плюс 302x минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби = левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка в кубе плюс 2x минус 1000 минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби ,$

что позволяет сразу же найти $F левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка .$

Еще один способ рассуждений покажем на примере следующей задачи.

Ответ: 6.

Ответ: 14

323289

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	323289	14