РЕШУ ЕГЭ — математика базовая

Задания

Тип Д15 № 27741 Добавить в вариант

Планиметрия . Векторы

Найдите угол между векторами $\overrightarrowa$  и $\overrightarrowb.$ Ответ дайте в градусах.

Решение. Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Поэтому вектор $\overrightarrowa~$ имеет координаты $левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка ,$ вектор $\overrightarrowb~$ имеет координаты $левая круглая скобка 8;4 правая круглая скобка .$ По определению скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними: $\overrightarrowa умножить на \overrightarrowb = |\overrightarrowa||\overrightarrowb| косинус альфа ,$ откуда

$косинус альфа = дробь: числитель: \overrightarrowa умножить на \overrightarrowb, знаменатель: |\overrightarrowa||\overrightarrowb| конец дроби .$

Запишем скалярное произведение векторов в координатах:

$\overrightarrowa умножить на \overrightarrowb = x_1 умножить на x_2 плюс y_1 умножить на y_2=2 умножить на 8 плюс 6 умножить на 4=40.$ $\overrightarrowa умножить на \overrightarrowb = x_1 умножить на x_2 плюс y_1 умножить на y_2=$
$=2 умножить на 8 плюс 6 умножить на 4=40.$

Найдем длины векторов:

$|\overrightarrowa| = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента в квадрате плюс 6 в квадрате = корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента ,$

$|\overrightarrowb| = корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента в квадрате плюс 4 в квадрате = корень из: начало аргумента: 80 конец аргумента .$

Тогда

$косинус альфа = дробь: числитель: 40, знаменатель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 80 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 40, знаменатель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ $косинус альфа = дробь: числитель: 40, знаменатель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 80 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 40, знаменатель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Поскольку $0 градусов меньше или равно альфа меньше или равно 180 градусов ,$ уравнение $косинус альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ имеет единственное решение: $альфа =45 градусов.$

Ответ: 45.

Ответ: 45

27741

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	27741	45