РЕШУ ЕГЭ — математика базовая

Задания

Тип Д18 № 132205 Добавить в вариант

Наибольшее и наименьшее значение функций. Исследование тригонометрических функций

Найдите наибольшее значение функции

$y= минус 4 тангенс x плюс 8x минус 2 Пи плюс 5$

на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Найдите наибольшее значение функции $y= минус 2 тангенс x плюс 4x минус Пи минус 3$ на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Найдем производную заданной функции:

$y'= дробь: числитель: минус 2, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби плюс 4= дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 2 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби$

Найдем нули производной:

$система выражений новая строка 2 косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z , новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Наибольшее значение функции достигается либо в точке $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ либо в точке $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$ Найдем эти значения:

$y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = минус 2 тангенс левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 4 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус Пи минус 3=2 корень из 3 минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 3,$

$y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус 2 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи минус Пи минус 3= минус 5.$

Значение −5 больше.

Ответ: −5.

Ключ