Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится
ИЛИ
На шести карточках написаны цифры 2, 3, 5, 6, 7, 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении
вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10, но не делится на 20. В ответе укажите какую-нибудь одну такую сумму.
ИЛИ
Вычеркните в числе 75157613 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
Разложим число 20 на слагаемые различными способами:
При разложении способами 1−4, 7 и 8 суммы квадратов чисел не кратны трём. При разложении пятым способом сумма квадратов кратна девяти. Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, подходит любое число, записанное цифрами 5, 7 и 8. Например, это число 578: сумма его цифр равна 20, а сумма квадратов цифр равна 138, то есть делится
Ответ: 578, 587, 758, 785, 857 или 875.
ИЛИ
Чтобы сумма делилась на 10 она должна заканчиваться на 0. Чтобы сумма не делилась на 20, вторая цифра с конца не должна быть четной. Чтобы в конце суммы получить 0, можно выбрать следующие цифры: 2, 3, 5 и 6, 7, 7. Рассмотрим каждую из двух комбинаций.
Случай 1: комбинация 2, 3, 5.
Среди оставшихся цифр 6, 7, 7 — две нечетные и одна четная. Чтобы получить вторую цифру нечетную, нужно взять две чётных цифры или две нечётных цифры (к четной сумме будет добавляться 1 от суммы цифр в 1 разряде). Тогда получаем: 2 + 73 + 675 = 750. Заметим, что последовательность последних цифр в числах никак не влияет на результат.
Случай 2: комбинация 6, 7, 7.
Среди оставшихся цифр 2, 3, 5 — две нечетные и одна четная. Чтобы получить вторую цифру нечетную, нужно взять одну четную (2) и одну нечетную цифры (3 или 5) во втором разряде (к нечетной сумме будет добавляться 2 от суммы цифр в 1 разряде). Тогда получаем: 6 + 27 + 537 = 570 и 6 + 27 + 357 = 390.
Ответ: 390, 570 или 750.
ИЛИ
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4. Из признака делимости на 4 (число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 4) следует, что число чётное — вычеркнем последние две цифры. Теперь используем признак делимости на 3. Найдём сумму цифр в числе 7 + 5 + 1 + 5 + 7 + 6 = 31. Ближайшие суммы цифр, которые делятся на 3 — 30, 27, 24.
Чтобы получить сумму цифр 30 вычеркнем из числа цифру 1. Получим число 75 576. Это число делится и на 4, и на 3.
Чтобы получить сумму цифр 24 вычеркнем из числа цифру 7. Цифра 7 встречается два раза в числе. Получаем числа 51 576 и 75 156. Эти числа делятся и на 4, и на 3.
Ответ: 75 576, 51 576, 75 156.