Ре­ше­ние. От­ре­зок OS вы­со­та тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC, ее объем вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

Таким об­ра­зом,

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. В пра­виль­ной пи­ра­ми­де вер­ши­на про­еци­ру­ет­ся в центр ос­но­ва­ния. Сле­до­ва­тель­но, SO яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 17.

Ре­ше­ние. В пра­виль­ной пи­ра­ми­де вер­ши­на про­еци­ру­ет­ся в центр ос­но­ва­ния. Сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок SO яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Най­дем пло­щадь грани SAB:

От­ре­зок SM яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка SAB, про­ведённой к его ос­но­ва­нию, а зна­чит, SM яв­ля­ет­ся и его вы­со­той. Тогда

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. От­ре­зок SL яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ASC, а зна­чит, и его вы­со­той. Бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды равны, по­это­му

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. Объёмы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му, если все ребра уве­ли­чить в 2 раза, объём уве­ли­чит­ся в 8 раз.

Это же сле­ду­ет из фор­му­лы для объёма пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра где a  — длина его ребра.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Объем пи­ра­ми­ды равен

где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, а h  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. При уве­ли­че­нии вы­со­ты в 4 раза объем пи­ра­ми­ды также уве­ли­чит­ся в 4 раза.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Дан­ные пи­ра­ми­ды имеют общую вы­со­ту, по­это­му их объ­е­мы со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a равна Пло­щадь же рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ACB с бо­ко­вой сто­ро­ной a и углах при ос­но­ва­нии 30° равна По­лу­ча­ем, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ACB в  раз и равна 6.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды EABC в 2 раза мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD, и ее вы­со­та в 2 раза мень­ше вы­со­ты пи­ра­ми­ды SABCD (так как точка E  — се­ре­ди­на ребра SB). По­сколь­ку объем пи­ра­ми­ды равен объем дан­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды в 4 раза мень­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды SABCD. Таким об­ра­зом, он равен 3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Объем пи­ра­ми­ды равен Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше в 4 раза (так как вы­со­та и сто­ро­на тре­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии мень­ше ис­ход­ных в 2 раза), по­это­му и объем остав­шей­ся части мень­ше в 4 раза. Таким об­ра­зом, он равен 3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти тет­ра­эд­ра равна сумме пло­ща­дей его гра­ней, ко­то­рые равны По­это­му при уве­ли­че­нии ребер вдвое пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся в 4 раза.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. При уве­ли­че­нии ребер в 3 раза пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков, об­ра­зу­ю­щих грани ок­та­эд­ра, уве­ли­чат­ся в 9 раз, по­это­му сум­мар­ная пло­щадь по­верх­но­сти также уве­ли­чит­ся в 9 раз.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Пло­ща­ди по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му, если все ребра уве­ли­че­ны в 2 раза, пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся в 4 раза.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре скре­щи­ва­ю­щи­е­ся ребра пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Каж­дая сто­ро­на се­че­ния яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей со­от­вет­ству­ю­щей грани, ко­то­рая, как из­вест­но, в 2 раза мень­ше па­рал­лель­ной ей сто­ро­ны и равна по­это­му 0,5. Зна­чит, се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся квад­рат со сто­ро­ной 0,5. Тогда пло­щадь се­че­ния

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен а объем пи­ра­ми­ды равен Вы­со­та пи­ра­ми­ды равна вы­со­те па­рал­ле­ле­пи­пе­да, а ее ос­но­ва­ние вдвое мень­ше, по­это­му объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 2.

При­ме­ча­ние.

Куб со­сто­ит из 6 таких пи­ра­мид, объем каж­дой из них равен 2.

Ре­ше­ние. Дан­ные пи­ра­ми­ды имеют общую вы­со­ту, по­это­му их объ­е­мы со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a равна Пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ACB с бо­ко­вой сто­ро­ной a и углах при ос­но­ва­нии 30° равна По­лу­ча­ем, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка в  раз тем самым, она равна 6 · 48  =  288.

Ответ: 288.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды EABC по усло­вию в 2 раза мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD. Также вы­со­та дан­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды в 2 раза мень­ше вы­со­ты пи­ра­ми­ды SABCD (т. к. точка E  — се­ре­ди­на ребра SB). По­сколь­ку объем пи­ра­ми­ды равен то объем дан­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды в 4 раза мень­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды SABCD и равен 33.

Ответ: 33.

Ре­ше­ние. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, h  — вы­со­та. Объем пи­ра­ми­ды равен где   — пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, рав­ная по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Тогда объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да в 6 раз боль­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му:

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му:

Тогда

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной пи­ра­ми­ды равна про­из­ве­де­нию апо­фе­мы на по­лу­пе­ри­метр ос­но­ва­ния. По­это­му

Ответ: 1.

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, по­это­му точка M яв­ля­ет­ся цен­тром ос­но­ва­ния, а MS  — вы­со­той пи­ра­ми­ды SABC. Ее объем вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Тогда

Ответ: 1.

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, по­это­му M яв­ля­ет­ся цен­тром ос­но­ва­ния, а MS  — вы­со­той пи­ра­ми­ды SABC. Тогда

Ответ: 1.

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, по­это­му, P яв­ля­ет­ся цен­тром ос­но­ва­ния, а SP  — вы­со­той пи­ра­ми­ды Ее объем вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Тогда

Ответ: 3.