Высота па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна вы­со­те вписанного в него цилиндра. Ос­но­ва­ни­ем параллелепипеда яв­ля­ет­ся квадрат, сто­ро­на которого в два раза боль­ше радиуса впи­сан­ной в него окружности. По­это­му площадь ос­но­ва­ния равна 4, а объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен

.

Ответ: 4.

Высота па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна вы­со­те вписанного в него цилиндра. Ос­но­ва­ни­ем параллелепипеда яв­ля­ет­ся квадрат, сто­ро­на которого в два раза боль­ше радиуса впи­сан­ной в него окружности. По­это­му сторона ос­но­ва­ния равна 8, а пло­щадь основания равна 64. Тогда вы­со­та цилиндра равна

.

Ответ: 0,25.

Ребро куба равно диа­мет­ру впи­сан­но­го в него шара, а объем куба равен кубу его ребра. От­сю­да имеем:

.

Ответ: 8.

Объем ци­лин­дра равен про­из­ве­де­нию площади ос­но­ва­ния на высоту, а объем ко­ну­са равен одной трети про­из­ве­де­ния площади ос­но­ва­ния на высоту. По­сколь­ку они имеют общее ос­но­ва­ние и высоту, объем ци­лин­дра в три раза боль­ше объема конуса.

Ответ: 75.

По по­стро­е­нию радиусы шара и ос­но­ва­ния цилиндра равны. Пло­щадь поверхности цилиндра, с ра­ди­у­сом основания r и вы­со­той 2r равна

.

Ответ: 12.

Площадь по­верх­но­сти по­лу­чив­ше­го­ся мно­го­гран­ни­ка равна сумме пло­ща­дей по­верх­но­стей куба со сто­ро­ной 1 и па­рал­ле­ле­пи­пе­да со сто­ро­на­ми 1, 0,5,  0,5 минус 2 пло­ща­ди ос­но­ва­ния вы­ре­зан­ной призмы:

.

Ответ: 7,5.

Объем ко­ну­са равен

,

Ответ: 50.

Прямоугольный параллелепипед, опи­сан­ный вокруг сферы, яв­ля­ет­ся кубом. Тогда длина его ребра

.

Ответ: 3.

Объемы дан­ных конусов со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их оснований, и, следовательно, как квад­ра­ты их диаметров. Диа­метр вписанного ко­ну­са равен сто­ро­не квадрата, диа­метр описанного – диа­го­на­ли квадрата, длина ко­то­рой равна   длины стороны. По­это­му объем опи­сан­но­го конуса в 2 раза боль­ше объема вписанного.

Ответ: 2.

Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен раз­но­сти объ­е­мов ис­ход­но­го тет­ра­эд­ра и че­ты­рех тетраэдров, одни из вер­шин ко­то­рых сов­па­да­ют с вер­ши­на­ми исходного:

.

Ответ: 9,5.

Искомая по­верх­ность со­сто­ит из 8 рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков со стороной, вдвое мень­шей ребра ис­ход­но­го тетраэдра. По­верх­ность ис­ход­но­го тет­ра­эд­ра со­сто­ит из 16-ти таких тре­уголь­ни­ков (см. рис.), по­это­му ис­ко­мая пло­щадь равна по­ло­ви­не пло­ща­ди по­верх­но­сти тет­ра­эд­ра и равна 6.

Ответ: 6.

,

Выразим из фор­му­лы для объёма ци­лин­дра и под­ста­вим в фор­му­лу для объёма шара

Ответ: 22.

Объем ци­лин­дра равен про­из­ве­де­нию площади ос­но­ва­ния ны высоту. Пло­щадь основания ци­лин­дра равна пло­ща­ди большого круга впи­сан­но­го шара, а вы­со­та цилиндра равна диа­мет­ру вписанного шара. Поэтому

Ответ: 36.

Поскольку

а конус и ци­линдр имеют общую вы­со­ту и основание, имеем:

Ответ: 15.

Площадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пря­мой приз­мы равна про­из­ве­де­нию пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на бо­ко­вое ребро. Бо­ко­вое ребро равно вы­со­те цилиндра. В ос­но­ва­нии приз­мы лежит квадрат, его сто­ро­на равна диа­мет­ру впи­сан­но­го круга. Поэтому

Поскольку по усло­вию пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна 48, ис­ко­мая вы­со­та равна 3.

Ответ: 3.

Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:

Поскольку по условию образующая равна радиус сферы равен 7.

Ответ:7.

Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:

Радиус сферы равен поэтому образующая равна

Ответ:56.

Высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара (см. рис.).

Площадь основания цилиндра:

Площадь боковой поверхности цилиндра:

Площадь полной поверхности цилиндра:

Поскольку площадь поверхности шара дается формулой имеем:

Ответ:166,5.