РЕШУ ЕГЭ — математика базовая

Задания

Тип Д18 № 70763 Добавить в вариант

Наибольшее и наименьшее значение функций. Исследование тригонометрических функций

Найдите наибольшее значение функции $y = 74x минус 37 тангенс x минус 18,5 Пи плюс 4$ на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Найдите наибольшее значение функции $y=14x минус 7 тангенс x минус 3,5 Пи плюс 11$ на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Найдем производную заданной функции:

$y'=14 минус 7 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 7 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 7 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби .$ $y'=14 минус 7 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби =$
$= дробь: числитель: 7 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 7 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби .$

Найдем нули производной на заданном отрезке:

$система выражений новая строка косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 2x меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка 2x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . новая строка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 2x меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ $система выражений новая строка косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 2x меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка 2x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . новая строка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 2x меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

Наибольшим значением функции на заданном отрезке будет наибольшее из чисел $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка$ и $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$ Найдем их:

$y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =14 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 7\operatorname тангенс левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби Пи плюс 11=$
$= минус дробь: числитель: 49, знаменатель: 6 конец дроби Пи плюс 7 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 11,$ $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =$
$=14 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 7\operatorname тангенс левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби Пи плюс 11=$
$= минус дробь: числитель: 49, знаменатель: 6 конец дроби Пи плюс 7 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 11,$

$y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =14 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 7\operatorname тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби Пи плюс 11=4.$

Заметим, что $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка больше y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ,$ поэтому наибольшее значение функции на отрезке равно 4.

Ответ: 4.

Ключ