РЕШУ ЕГЭ — математика базовая

Задания

Тип Д15 № 56049 Добавить в вариант

Планиметрия . Прямоугольник: длины и площади

Периметр прямоугольника равен 40, а площадь равна 19,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна их произведению. Обозначим длины сторон a и $b.$ Тогда периметр и площадь прямоугольника соответственно равны $P=2 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка =34$ и $S=ab=60.$ Решим систему:

$левая фигурная скобка \beginalign новая строка a плюс b = 17, новая строка a b = 60 \endalign равносильно левая фигурная скобка \beginalign новая строка a = 17 минус b, новая строка 17 b минус b в квадрате = 60 \endalign равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginaligna = 17 минус b, новая строка левая квадратная скобка \beginalign b=5, b=12 \endalign \endalign равносильно левая квадратная скобка \beginalign \ левая фигурная скобка \beginarrayl a=12, b=5, \endarray левая фигурная скобка \beginarrayl a=5, b=12. \endarray \endalign$ $левая фигурная скобка \beginalign новая строка a плюс b = 17, новая строка a b = 60 \endalign равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginalign новая строка a = 17 минус b, новая строка 17 b минус b в квадрате = 60 \endalign равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginaligna = 17 минус b, новая строка левая квадратная скобка \beginalign b=5, b=12 \endalign \endalign равносильно левая квадратная скобка \beginalign \ левая фигурная скобка \beginarrayl a=12, b=5, \endarray левая фигурная скобка \beginarrayl a=5, b=12. \endarray \endalign$ $левая фигурная скобка \beginalign новая строка a плюс b = 17, новая строка a b = 60 \endalign равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginalign новая строка a = 17 минус b, новая строка 17 b минус b в квадрате = 60 \endalign равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginaligna = 17 минус b, новая строка левая квадратная скобка \beginalign b=5, b=12 \endalign \endalign равносильно$
$равносильно левая квадратная скобка \beginalign \ левая фигурная скобка \beginarrayl a=12, b=5, \endarray левая фигурная скобка \beginarrayl a=5, b=12. \endarray \endalign$

Таким образом, стороны прямоугольника треугольника равны 5 и 12.

Диагональ разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в которых она является гипотенузой. Пусть длина диагонали равна c, тогда по теореме Пифагора

$c = корень из: начало аргумента: 5 в квадрате плюс 12 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 25 плюс 144 конец аргумента =13.$

Ответ: 13.

Примечание 1.

Можно заметить, что система уравнений $a плюс b=17,$ $ab=60$ является системой Виета. Поэтому её решения  — корни квадратного уравнения $t в квадрате минус 17t плюс 60=0,$ откуда $t=5$ и $t=12.$

Примечание 2.

Можно было и вовсе не решать систему уравнений: действительно,

$с в квадрате =a в квадрате плюс b в квадрате = левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате минус 2ab=$
$=17 в квадрате минус 2 умножить на 60=169 = 289 минус 120=169,$ $с в квадрате =a в квадрате плюс b в квадрате =$
$= левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате минус 2ab=17 в квадрате минус 2 умножить на 60=$
$=169 = 289 минус 120=169,$ $с в квадрате =a в квадрате плюс b в квадрате =$
$= левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате минус 2ab=$
$=17 в квадрате минус 2 умножить на 60=169 =$
$= 289 минус 120=169,$

откуда $c=13.$

Ключ