Ре­ше­ние. Пусть уче­ник дал x пра­виль­ных от­ве­тов, y не­пра­виль­ных от­ве­тов и на z во­про­сов не от­ве­тил. Тогда

За каж­дый пра­виль­ный ответ он по­лу­чал 7, за не­пра­виль­ный (−13), за не­осве­щен­ный во­прос  — 0 очков. По­это­му:

От­сю­да имеем:

Так как число де­лит­ся на 7, то и 13y де­лит­ся на 7. Рас­смот­рим два слу­чая.

Если тогда то есть Тогда из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Если тогда то есть ко­ли­че­ство пра­виль­но от­ве­чен­ных во­про­сов Это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Таким об­ра­зом, уче­ник пра­виль­но от­ве­тил на 21 во­про­са.

Ответ: 21.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пе­ри­метр верх­не­го ле­во­го пря­мо­уголь­ни­ка равна 24, по­это­му ана­ло­гич­но, При по­мо­щи по­лу­чен­ной си­сте­мы урав­не­ний вы­ра­зим зна­че­ние

Из тре­тье­го урав­не­ния по­лу­ча­ем: сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый пе­ри­метр равен 12.

Ответ: 12.

В квар­ти­ре могут жить один, два или три че­ло­ве­ка. В квар­ти­рах с 1-⁠й по 12-⁠ю вклю­чи­тель­но живёт сум­мар­но 16 че­ло­век, сле­до­ва­тель­но, в 8 квар­ти­рах живёт по од­но­му че­ло­ве­ку, а в остав­ших­ся че­ты­рех квар­ти­рах живёт сум­мар­но 8 че­ло­век. В квар­ти­рах с 9-⁠й по 19-⁠ю вклю­чи­тель­но живёт сум­мар­но 29 че­ло­век, сле­до­ва­тель­но, в че­ты­рех квар­ти­рах живёт по два че­ло­ве­ка, а в остав­ших­ся семи живёт сум­мар­но 21 че­ло­век. Рас­смот­рен­ные мно­же­ства квар­тир пе­ре­се­ка­ют­ся по квар­ти­рам 9, 10, 11 и 12, зна­чит, имен­но в этих квар­ти­рах в сумме живёт 8 че­ло­век. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что всего в доме живёт 8 · 1 + 8 + 3 · 9  =  37 че­ло­век.

Ответ: 37.

Сумма всех чисел в таб­ли­це равна 137 + 160 + 185  =  482. Сумма чисел в каж­дой стро­ке может быть равна 25 или 26. В таб­ли­це не может быть боль­ше, чем строк. И не может быть мень­ше строк. Сле­до­ва­тель­но, в таб­ли­це ровно 19 строк.

Ответ: 19.