Ре­ше­ние. Ме­ди­а­на  — от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий вер­ши­ну тре­уголь­ни­ка с се­ре­ди­ной про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны, по­это­му MC  =  9. Тогда

Впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр,  — пря­мой, по­это­му тре­уголь­ник ABC  — пря­мо­уголь­ный. Его ги­по­те­ну­за АВ равна 6, по­это­му:

Ответ: 4.

Пусть вто­рой катет равен x, ис­поль­зу­ем тео­ре­му Пи­фа­го­ра и найдём его:

Найдём пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка:

Ответ: 4.

Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, ме­ди­а­на BK яв­ля­ет­ся вы­со­той, угол BKC равен 90°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BKC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По­сколь­ку от­ре­зок BK  — ме­ди­а­на, длины от­рез­ков AK и KC равны, тогда AC  =  2KC  =  48. Точки M и N  — се­ре­ди­ны бо­ко­вых сто­рон, сле­до­ва­тель­но, MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, ее длина равна по­ло­ви­не длины ос­но­ва­ния, то есть 24.

Ответ: 24.