Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Ка­са­тель­ные CA и CB к окруж­но­сти об­ра­зу­ют угол ACB, рав­ный 122°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну мень­шей дуги AB, стя­ги­ва­е­мой точ­ка­ми ка­са­ния. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Тре­уголь­ник АВС рав­но­бед­рен­ный, так как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки, равны. Сле­до­ва­тель­но, угол ВAC равен 0,5(180° − 122°)  =  29°. Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой, про­ве­ден­ной через точку ка­са­ния, равен по­ло­ви­не за­клю­чен­ной между ними дуги, по­это­му ис­ко­мая дуга равна 2 · 29°  =  58°.

Ответ: 58.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть ис­ко­мая длина мень­шей дуги АВ равна х, тогда длина боль­шей дуги АВ равна 360° − х. Угол между двумя ка­са­тель­ны­ми, про­ве­ден­ны­ми из одной точки, равен по­ло­ви­не вы­се­ка­е­мых ими дуг, от­ку­да имеем: 0,5(360° − 2x)  =  122°. Тогда x  =  58°.

При­ве­дем ре­ше­ние Мар­се­ля Да­вы­до­ва (Аба­кан).

Вос­поль­зу­ем­ся тем, что ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной. От­сю­да сле­ду­ет, что углы OBC и OAC пря­мые. По усло­вию сле­до­ва­тель­но,

По­сколь­ку AOB  — цен­траль­ный угол, он равен дуге, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Таким об­ра­зом, дуга AB равна 58°.