СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика базового уровня
≡ математика базовый уровень
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 8 № 513032

На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 2 м, а длин­ное плечо — 6 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 0,5 м?

Решение.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Здесь AC — положение «журавля» до опускания, BD — положение после опускания, AH — высота, на которую поднялся конец короткого плеча, CK — высота, на которую опустился конец длинного.

В равнобедренных треугольниках AOB и COD углы AOB и COD, противолежащие основаниям, равны как вертикальные, поэтому равны и углы при их основаниях. Тем самым, эти треугольники подобны по двум углам, и

 

 

Накрест лежащие углы 1 и 2, образованные при пересечении секущей BD прямых AB и CD, равны, поэтому прямые AB и CD параллельны. Тогда стороны углов 3 и 4 попарно параллельны, а значит, эти углы равны.

Следовательно, прямоугольные треугольники AHB и CDK подобны, поскольку имеют равные острые углы. Имеем:

 

 

Ответ: 1,5.

 

Примечание 1.

Можно привести несколько иное доказательство подобия треугольников и . На приведённой ниже картинке есть два маленьких треугольника обозначенные и Они прямоугольные и одна пара углов равна друг другу как накрест лежащие при параллельных прямых. Поэтому они подобны.

Затем, можно заметить, что у треугольников и соответственные углы равны друг другу (потому, что их стороны параллельны), следовательно, треугольники подобны. Аналогично с треугольниками и Из трёх пар подобий этих треугольников следует, что треугольники и подобны.

 

 

 

Примечание 2.

Однажды это задание было предложено на репетиционном экзамене в качестве задания 15. Видимо, составители варианта (и, наверное, авторы из ФИПИ) хотели создать задание, аналогичное простому заданию о шлагбауме (посмотреть). Но в задаче со шлагбаумом в условии дан рисунок, из которого можно понять, что авторы понимают под словами «конец плеча поднимется на высоту». В этой задаче с колодцем рисунка в условии нет, поэтому понимать ее иначе, чем написано в решении, некорректно.