Ре­ше­ние. Найдём все трёхзнач­ные числа, боль­шие пя­ти­сот, такие, что сред­няя цифра равна сред­не­му ариф­ме­ти­че­ско­му край­них. Пусть пер­вая цифра числа 5, тогда если по­след­няя цифра чётная, то сред­няя  — не целое число. Сле­до­ва­тель­но, по­след­няя цифра долж­на быть нечётной, тогда это 1, 3, 5, 7 или 9. Сред­нюю цифру на­хо­дим как сред­нее ариф­ме­ти­че­ское край­них. По­лу­ча­ем: 531, 543, 555, 567, 579.

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, на­хо­дим остав­ши­е­ся трёхзнач­ные числа, об­ла­да­ю­щие этим свой­ством: 630, 642, 654, 666, 678, 741, 753, 777, 789, 840, 852, 864, 876, 888, 951, 963, 975, 987, 999.

Опре­де­лим, какие из най­ден­ных чисел дают оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 8 и на 5. Это числа 642 (оста­ток 2), 840 (оста­ток 0), 963 (оста­ток 3).

Не­ну­ле­вые рав­ные остат­ки дают числа 642, 963.

Ответ: 642 или 963.