РЕШУ ЕГЭ — математика базовая

Задания

Тип Д15 № 4638 Добавить в вариант

Планиметрия . Прямоугольный треугольник: вычисление элементов

В треугольнике ABC угол C равен $90 градусов ,$ $синус A~=~ дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби ,$ $AC~=~ корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента .$ Найдите AB.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, $AC = 4,8,$ $синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$ Найдите $AB.$

Зная, что $синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби ,$ найдем косинус угла A:

$косинус A = корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате A конец аргумента = корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 49, знаменатель: 625 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби .$

Далее имеем:

$AB = дробь: числитель: AC, знаменатель: косинус A конец дроби } = 4,8 : дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = 4,8 умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 24 конец дроби = дробь: числитель: 48, знаменатель: 10 конец дроби умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 24 конец дроби = 5.$

Ответ: 5.

Примечание.

Можно было бы воспользоваться определением косинуса: $косинус A = дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: AB конец дроби ,$ то есть $дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 4,8, знаменатель: AB конец дроби ,$ откуда $AB = дробь: числитель: 25 умножить на 4,8 , знаменатель: 24 конец дроби = 5.$

Приведём другое решение.

Пусть искомая длина гипотенузы равна x. По определению синуса $синус A = дробь: числитель: CB, знаменатель: AB конец дроби ,$ а по условию $синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби ,$ следовательно, $дробь: числитель: CB}x = дробь: числитель: {, знаменатель: 7 конец дроби , знаменатель: 25 конец дроби ,$ откуда $CB = дробь: числитель: 7, знаменатель: конец дроби 25 x.$ Применим теорему Пифагора:

$x в квадрате = 4,8 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: конец дроби 25 x правая круглая скобка в квадрате равносильно x в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 24}5 правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате равносильно дробь: числитель: 576, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате = дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби равносильно x в квадрате = 25 \underset x больше 0 , знаменатель: \mathop{ равносильно конец дроби x = 5.$ $x в квадрате = 4,8 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: конец дроби 25 x правая круглая скобка в квадрате равносильно x в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 24}5 правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: {, знаменатель: 4 конец дроби 9, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 576, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате = дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби равносильно x в квадрате = 25 \underset x больше 0 \mathop равносильно x = 5.$

Ключ