Найдите наибольшее значение функции $x в степени 5 плюс 10x в кубе минус 35x$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 7;0 правая квадратная скобка .$

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Найдите наибольшее значение функции $y=x в степени 5 минус 5x в кубе минус 20x$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 6;1 правая квадратная скобка .$

Найдем производную заданной функции:

$y'=5x в степени 4 минус 15x в квадрате минус 20.$

Сделаем замену $x в квадрате =t$ и решим полученное уравнение:

$5t в квадрате минус 15t минус 20=0 равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 3t минус 4=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1, t=4. конец совокупности .$ $5t в квадрате минус 15t минус 20=0 равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 3t минус 4=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t= минус 1, t=4. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной:

$совокупность выражений x в квадрате = минус 1, x в квадрате =4 конец совокупности . равносильно x в квадрате =4 равносильно совокупность выражений x=2, x= минус 2. конец совокупности .$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

На отрезке $левая квадратная скобка минус 6;1 правая квадратная скобка$ функция достигает наибольшего значения в точке −2. Найдем его:

$y левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в степени 5 минус 5 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в кубе минус 20 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =$
$= минус 32 плюс 40 плюс 40=48.$ $y левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в степени 5 минус 5 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в кубе минус 20 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =$
$= минус 32 плюс 40 плюс 40=48.$

Ответ: 48.