РЕШУ ЕГЭ — математика базовая

Задания

Тип Д18 № 132217 Добавить в вариант

Наибольшее и наименьшее значение функций. Исследование тригонометрических функций

Найдите наибольшее значение функции $y= минус 12 тангенс x плюс 24x минус 6 Пи плюс 2$ на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y'= дробь: числитель: минус 12, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби плюс 24= дробь: числитель: 12 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 12 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби$

Найдем нули производной на заданном отрезке:

$система выражений новая строка 12 косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ $система выражений новая строка 12 косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Наибольшим значением функции является большее значение из чисел $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка$ и $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$ Сравним их:

$y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус 12 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 6 Пи минус 6 Пи плюс 2= минус 10,$

$y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = минус 12 тангенс левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс 24 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 6 Пи плюс 2=12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 14 Пи плюс 2.$

Заметим, что $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка больше y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Следовательно, наибольшим значением функции будет $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус 10.$

Ответ: −10.

Ответ: -10

132217

-10

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	132217	-10