Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Часы со стрел­ка­ми по­ка­зы­ва­ют 8 часов 00 минут. Через сколь­ко минут ми­нут­ная стрел­ка в чет­вер­тый раз по­рав­ня­ет­ся с ча­со­вой?

Ско­рость дви­же­ния ми­нут­ной стрел­ки 12 де­ле­ний/⁠час (под одним де­ле­ни­ем здесь под­ра­зу­ме­ва­ет­ся рас­сто­я­ние между со­сед­ни­ми циф­ра­ми на ци­фер­бла­те часов), а ча­со­вой  — 1 де­ле­ние/⁠час. До чет­вер­той встре­чи ми­нут­ной и ча­со­вой стре­лок ми­нут­ная долж­на сна­ча­ла 3 раза «обо­гнать» ча­со­вую, то есть прой­ти 3 круга по 12 де­ле­ний. Пусть после этого до чет­вер­той встре­чи ча­со­вая стрел­ка прой­дет L де­ле­ний. Тогда общий путь ми­нут­ной стрел­ки скла­ды­ва­ет­ся из най­ден­ных 36 де­ле­ний, ещё 8 из­на­чаль­но раз­де­ля­ю­щих их де­ле­ний (по­сколь­ку часы по­ка­зы­ва­ют 8 часов) и по­след­них L де­ле­ний. При­рав­ня­ем время дви­же­ния для ча­со­вой и ми­нут­ной стре­лок:

Ча­со­вая стрел­ка прой­дет 4 де­ле­ния, что со­от­вет­ству­ет 4 часам, то есть 240 ми­ну­там.

Ответ: 240.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ясно, что в пер­вый раз стрел­ки встре­тят­ся между 8 и 9 ча­са­ми, вто­рой раз  — между 9 и 10 ча­са­ми, тре­тий  — между 10 и 11, чет­вер­тый  — между 11 и 12 ча­са­ми, то есть ровно в 12 часов. Таким об­ра­зом, они встре­тят­ся ровно через 4 часа, что со­став­ля­ет 240 минут.

По прось­бам чи­та­те­лей по­ме­ща­ем общее ре­ше­ние.

Ско­рость вра­ще­ния ча­со­вой стрел­ки равна 0,5 гра­ду­са в ми­ну­ту, а ми­нут­ной  — 6 гра­ду­сов в ми­ну­ту. По­это­му, когда часы по­ка­зы­ва­ют время h часов m минут, ча­со­вая стрел­ка по­вер­ну­та на 30h + 0,5m гра­ду­сов, а ми­нут­ная  — на 6m гра­ду­сов от­но­си­тель­но 12-⁠ча­со­во­го де­ле­ния.

Пусть в пер­вый раз стрел­ки встре­тят­ся через t₁ минут. Тогда если ми­нут­ная стрел­ка еще не опе­ре­жа­ла ча­со­вую в те­че­ние те­ку­ще­го часа, то 6m + 6t₁  =  30h + 0,5m + 0,5t₁, т. е. t₁  =  (60h − 11m)/11 (*). В про­ти­во­по­лож­ном слу­чае по­лу­ча­ем урав­не­ние 6m + 6t₁  =  30h + 0,5m + 0,5t₁ + 360, от­ку­да t₁  =  (60h − 11m + 720)/11 (**).

Пусть во вто­рой раз стрел­ки встре­тят­ся через t₂ минут после пер­во­го, тогда 0,5t₂  =  6t₂  − 360, от­ку­да t₂ = 720/11 (***). Это же верно для каж­до­го сле­ду­ю­ще­го обо­ро­та.

По­это­му для встре­чи с но­ме­ром n из (*) и (**) с уче­том (***) имеем со­от­вет­ствен­но: t_n  =  (60h − 11m + 720(n − 1))/11 или t_n  =  (60h − 11m + 720n)/11.